由滾動的滑塊彈簧引發的簡單思考

  相信大家小時候都玩過滑塊彈簧，比如說彈簧筆、魔方，什么地方都有這種像螺紋管一樣的彈簧。當你把這個滑塊彈簧在桌面滾動的時候，就會看到一列波似乎從彈簧的一側傳遞向另一側；再比如鉆頭或者理發店門口的紅藍白三色柱，在轉動的時候，也會感覺螺紋從一端源源不斷地冒出，最后消失在另一端，這看起來確實類似于波在行進。我們可以簡單計算這個波的波速。假設螺線管半徑為r，旋轉頻率為f，螺距為h。我們所觀測到的波是螺線管在某一平行其中心軸的平面上的投影。

  在一個周期1/f中，這個波“前進”了一個螺距h，波速為hf。而螺線管上繞中心軸做圓周運動的質點的運動速度為2πrf。對比不難發現，只要h>2πr的時候，總可以在螺線管各點速度均不超過光速的情況下，讓這個波的“波速”超過光速。沒有的，因為這個波根本沒有攜帶任何信息，可以說，這個波上每一個點的軌跡，就像人浪一樣約定好了，只是和波看起來有一樣的形狀。那么我們能換復雜點的螺線管嗎藍線是紅線的投影。等相位點，就是每個極值點在不斷向右推進，這就是相速度。
  但其實螺線管只是原地旋轉，波的“復包絡”，或者說螺線管的“外輪廓”沒有前進。而整體包絡前進的速度可以認為是“群速度”，就是大家一起“共同”的速度。此處舉一例，對于極其接近的ω1，ω2≈ω，有兩個波，其中第一項高頻項就是載波整體向前傳遞，而后一項，變化極慢的項則是波的形狀向前傳遞。那么對于一個給定的信號，如果把它當作某個螺線管的投影，可以還原出它對應的“螺線管”嗎？那就是希爾伯特變換，這個變換是一個有些復雜的積分變換，還是個反常積分。